435. Докажите, что середина отрезка, соединяющего вершину треугольника с любой точкой противоположной стороны, лежит на отрезке с концами в серединах двух других сторон.

Рассмотрим треугольник ABC, точку P на стороне BC и середину X отрезка AP. Пусть U и V — середины AB и AC соответственно.

Введём векторы с началом в A. Тогда X = (A + P)/2. Поскольку P лежит на BC, существует число t от 0 до 1, для которого P = (1 − t)B + tC. Поэтому X = (1 − t)(A + B)/2 + t(A + C)/2 = (1 − t)U + tV.

Это означает, что X лежит на отрезке UV: его положение задаётся коэффициентом t от 0 до 1.

Ответ: середина AP лежит на отрезке, соединяющем середины AB и AC.