47. В пространственном четырехугольнике ABCD стороны AB и CD равны. Докажите, что прямые AB и CD образуют равные углы с прямой, проходящей через середины отрезков BC и AD.

Обозначим середины BC и AD через M и N. Пусть вектор AB равен u, а вектор CD — v. Так как середины отрезков имеют координаты, являющиеся средними координат их концов, вектор MN равен половине разности векторов v и u: MN = (v − u)/2. По условию |u| = |v|. Тогда (v − u)·u = u·v − |u|², а (v − u)·v = |v|² − u·v; эти величины противоположны. Следовательно, острые углы между MN и направлениями AB и CD равны. Значит, прямые AB и CD образуют с MN равные углы.