5) (2 б) Розв'яжіть рівняння:

Решение:

Решим уравнение \( 2\sin(\frac{\pi}{6} + x) = \sqrt{3} \).

1. Разделим обе части уравнения на 2:

\( \sin(\frac{\pi}{6} + x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

1. Найдём основное значение арксинуса. \( \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3} \).
2. Общее решение для уравнения \( \sin u = a \) имеет вид \( u = (-1)^n \cdot \arcsin a + \pi n \), где \( n \) — целое число.
3. В нашем случае, \( u = \frac{\pi}{6} + x \) и \( a = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
4. Таким образом, \( \frac{\pi}{6} + x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
5. Вычтем \( \frac{\pi}{6} \) из обеих частей уравнения, чтобы найти \( x \):

\( x = -\frac{\pi}{6} + (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Рассмотрим два случая для \( n \):

1. Если \( n = 2k \) (чётное число):

\( x = -\frac{\pi}{6} + (-1)^{2k} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi (2k) = -\frac{\pi}{6} + 1 \cdot \frac{\pi}{3} + 2\pi k = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \).

1. Если \( n = 2k + 1 \) (нечётное число):

\( x = -\frac{\pi}{6} + (-1)^{2k+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi (2k+1) = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k + \pi = -\frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + \pi + 2\pi k = -\frac{3\pi}{6} + \pi + 2\pi k = -\frac{\pi}{2} + \pi + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) и \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).