6) (2 б) Розв'яжіть рівняння:

Решение:

Решим уравнение \( (2\sin x - 1)(2 + \sin x) = 0 \).

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Рассмотрим два случая:

1. Первый множитель равен нулю:

\( 2\sin x - 1 = 0 \).

\( 2\sin x = 1 \).

\( \sin x = \frac{1}{2} \).

Решения этого уравнения:

\( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) и \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

1. Второй множитель равен нулю:

\( 2 + \sin x = 0 \).

\( \sin x = -2 \).

Это уравнение не имеет решений, так как значения синуса находятся в промежутке \( [-1; 1] \), а \( -2 \) выходит за пределы этого промежутка.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются только решения первого случая.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) и \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).