6) (2 б) Розв'яжіть рівняння: 1-2 sin^2 x = 0

Решение:

Решим уравнение \( 1 - 2\sin^2 x = 0 \).

1. Перенесём \( 2\sin^2 x \) в правую часть:

\( 1 = 2\sin^2 x \).

1. Разделим обе части на 2:

\( \sin^2 x = \frac{1}{2} \).

1. Извлечём квадратный корень из обеих частей:

\( \sin x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} \).

\( \sin x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \).

1. Теперь у нас есть два уравнения:

\( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

1. Решения для \( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \) :

\( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \) и \( x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

1. Решения для \( \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) :

\( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \) и \( x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Можно объединить эти решения. Обратите внимание, что \( -\frac{\pi}{4} \) и \( \frac{3\pi}{4} \) отличаются на \( \pi \), а \( \frac{\pi}{4} \) и \( \frac{5\pi}{4} \) также отличаются на \( \pi \).

Уравнение \( \sin^2 x = a \) имеет решения \( x = \pm \arcsin \sqrt{a} + \pi k \).

В нашем случае \( a = \frac{1}{2} \), \( \sqrt{a} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4} \).

Следовательно, \( x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).