5) (2 б) Розв'яжіть рівняння: 2cos(x+π/4)=-1

Решение:

Решим уравнение \( 2\cos(x + \frac{\pi}{4}) = -1 \).

1. Разделим обе части уравнения на 2:

\( \cos(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2} \).

1. Найдём основное значение арккосинуса. \( \arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3} \).
2. Общее решение для уравнения \( \cos u = a \) имеет вид \( u = \pm \arccos a + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.
3. В нашем случае, \( u = x + \frac{\pi}{4} \) и \( a = -\frac{1}{2} \).
4. Таким образом, \( x + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
5. Вычтем \( \frac{\pi}{4} \) из обеих частей уравнения, чтобы найти \( x \):

\( x = -\frac{\pi}{4} \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Рассмотрим два случая:

1. \( x = -\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} + 2\pi k = \frac{-3\pi + 8\pi}{12} + 2\pi k = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k \)
2. \( x = -\frac{\pi}{4} - \frac{2\pi}{3} + 2\pi k = \frac{-3\pi - 8\pi}{12} + 2\pi k = -\frac{11\pi}{12} + 2\pi k \)

Ответ: \( x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k \) и \( x = -\frac{11\pi}{12} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).