5) (2 б) Розв'яжіть рівняння: 2 cos(x + π/4) = -1

Решение:

1. Разделим обе части уравнения на 2:

   \[ \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{2} \]

2. Найдем значения аргумента \( x + \frac{\pi}{4} \). Арккосинус \( -\frac{1}{2} \) равен \( \frac{2\pi}{3} \).
3. Общие решения для уравнения \( \cos y = a \) имеют вид \( y = \pm \arccos a + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.
4. Применим это к нашему уравнению:

   \[ x + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

5. Выразим \( x \):

   \[ x = -\frac{\pi}{4} \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

6. Рассмотрим два случая:

   Случай 1: \( x = -\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} + 2\pi n = \frac{-3\pi + 8\pi}{12} + 2\pi n = \frac{5\pi}{12} + 2\pi n

   Случай 2: \( x = -\frac{\pi}{4} - \frac{2\pi}{3} + 2\pi n = \frac{-3\pi - 8\pi}{12} + 2\pi n = -\frac{11\pi}{12} + 2\pi n

Ответ: \( x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi n \) и \( x = -\frac{11\pi}{12} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).