5) (2 б) Розв'яжіть рівняння: 2 sin(π/6 + x) = √3

Решение:

1. Разделим обе части уравнения на 2:

   \[ \sin\left(\frac{\pi}{6} + x\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

2. Найдем значения аргумента \( \frac{\pi}{6} + x \). Синус \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) равен \( \frac{\pi}{3} \) или \( \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \).
3. Общие решения для уравнения \( \sin y = a \) имеют вид \( y = \alpha + 2\pi n \) и \( y = \pi - \alpha + 2\pi n \), где \( \alpha \) — один из арксинусов \( a \), и \( n \) — целое число.
4. Применим это к нашему уравнению:

   \[ \frac{\pi}{6} + x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{или} \quad \frac{\pi}{6} + x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

5. Выразим \( x \):

   Случай 1: \( x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi - \pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \)

   Случай 2: \( x = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{4\pi - \pi}{6} + 2\pi n = \frac{3\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \)

Ответ: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) и \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).