5.491 Найдите значение выражения:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Вычисляем значение выражения а) $$\frac{61}{64} - (\frac{7}{12} - \frac{5}{14}) \cdot (\frac{13}{16} + \frac{1}{2})$$.
   Сначала выполняем действия в скобках:
   \( \frac{7}{12} - \frac{5}{14} = \frac{7 \cdot 7 - 5 \cdot 6}{84} = \frac{49 - 30}{84} = \frac{19}{84} \)
   \( \frac{13}{16} + \frac{1}{2} = \frac{13}{16} + \frac{1 \cdot 8}{2 \cdot 8} = \frac{13 + 8}{16} = \frac{21}{16} \)
   Теперь выполняем умножение:
   \( \frac{19}{84} \cdot \frac{21}{16} = \frac{19 \cdot 21}{84 \cdot 16} \)
   Сокращаем 21 и 84 (получится 1 и 4):
   \( \frac{19 \cdot 1}{4 \cdot 16} = \frac{19}{64} \)
   Теперь выполняем вычитание:
   \( \frac{61}{64} - \frac{19}{64} = \frac{61 - 19}{64} = \frac{42}{64} \)
   Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
   \( \frac{42}{64} = \frac{21}{32} \)
2. Шаг 2: Вычисляем значение выражения б) $$(1 - \frac{11}{17}) \cdot (\frac{3}{4} - \frac{5}{12} + \frac{11}{18})$$.
   Сначала выполняем действия в скобках:
   \( 1 - \frac{11}{17} = \frac{17}{17} - \frac{11}{17} = \frac{6}{17} \)
   \( \frac{3}{4} - \frac{5}{12} + \frac{11}{18} \)
   Общий знаменатель для 4, 12, 18: 36.
   \( \frac{3 \cdot 9}{4 \cdot 9} - \frac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3} + \frac{11 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{27}{36} - \frac{15}{36} + \frac{22}{36} = \frac{27 - 15 + 22}{36} = \frac{12 + 22}{36} = \frac{34}{36} \)
   Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
   \( \frac{34}{36} = \frac{17}{18} \)
   Теперь выполняем умножение:
   \( \frac{6}{17} \cdot \frac{17}{18} = \frac{6 \cdot 17}{17 \cdot 18} \)
   Сокращаем 17, остается $$\frac{6}{18}$$.
   Сокращаем 6 и 18 (получится 1 и 3):
   \( \frac{1}{3} \)
3. Шаг 3: Вычисляем значение выражения в) $$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6}$$.
   Группируем слагаемые:
   \( (1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5}) - (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6}) \)
   Для первой группы общий знаменатель 15:
   \( \frac{15}{15} + \frac{5}{15} + \frac{3}{15} = \frac{15 + 5 + 3}{15} = \frac{23}{15} \)
   Для второй группы общий знаменатель 12:
   \( \frac{1 \cdot 6}{2 \cdot 6} + \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{6}{12} + \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{6 + 3 + 2}{12} = \frac{11}{12} \)
   Теперь вычитаем:
   \( \frac{23}{15} - \frac{11}{12} \)
   Общий знаменатель для 15 и 12 — 60:
   \( \frac{23 \cdot 4}{15 \cdot 4} - \frac{11 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{92}{60} - \frac{55}{60} = \frac{92 - 55}{60} = \frac{37}{60} \)
4. Шаг 4: Вычисляем значение выражения г) $$\frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \frac{1}{12} + \frac{5}{12} + \frac{1}{16} + \frac{7}{16} + \frac{1}{20}$$.
   Группируем слагаемые с одинаковыми знаменателями:
   \( (\frac{1}{8} + \frac{3}{8}) + (\frac{1}{12} + \frac{5}{12}) + (\frac{1}{16} + \frac{7}{16}) + \frac{1}{20} \)
   \( \frac{4}{8} + \frac{6}{12} + \frac{8}{16} + \frac{1}{20} \)
   Сокращаем дроби:
   \( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{20} \)
   \( \frac{3}{2} + \frac{1}{20} \)
   Приводим к общему знаменателю 20:
   \( \frac{3 \cdot 10}{2 \cdot 10} + \frac{1}{20} = \frac{30}{20} + \frac{1}{20} = \frac{31}{20} \)

Ответ: а) $$\frac{21}{32}$$; б) $$\frac{1}{3}$$; в) $$\frac{37}{60}$$; г) $$\frac{31}{20}$$