5. ABCD — параллелограмм. BE ⟂ AC, DP ⟂ AC, точки E и P принадлежат AC. Доказать: AP = CE.

1. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся пополам. Обозначим их точку пересечения через O: центральная симметрия с центром O переводит A в C, B в D и диагональ AC в себя.
2. При этой симметрии перпендикуляр из B к AC переходит в перпендикуляр из D к AC. Поэтому точка E переходит в P.
3. Значит, на диагонали AC точки A и C, а также E и P переходят друг в друга. Отсюда отрезки AP и CE соответствуют друг другу и равны.

Что и требовалось доказать.