5. ABCD — параллелограмм. E и P лежат на диагонали AC; BE ⟂ AC и DP ⟂ AC. Доказать: AP = CE.

Рассмотрим центральную симметрию параллелограмма относительно точки пересечения его диагоналей. Она переводит A в C, B в D и оставляет прямую AC на месте.

Перпендикуляр BE к AC при этой симметрии переходит в перпендикуляр к AC, проведённый из D. Его основание — P, поэтому E переходит в P. Значит, отрезок CE переходит в AP.

Центральная симметрия сохраняет длины, следовательно, AP = CE.