5. Найдите наименьший положительный корень уравнения sin² x - 8sin x + 7 = 0. Ответ запишите в градусах.

Решение:

Сделаем замену переменной: пусть \( t = \sin x \). Тогда уравнение примет вид:

\( t^2 - 8t + 7 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение относительно \( t \).

По теореме Виета: \( t_1 + t_2 = 8 \) и \( t_1 \cdot t_2 = 7 \). Корни: \( t_1 = 1 \) и \( t_2 = 7 \).

Теперь вернемся к замене:

1) \( \sin x = 1 \) или \( \sin x = 7 \).

Уравнение \( \sin x = 7 \) не имеет решений, так как область значений синуса — \( [-1; 1] \).

Решаем уравнение \( \sin x = 1 \).

Наименьший положительный угол, синус которого равен 1, — это \( \frac{\pi}{2} \) радиан.

Переведем в градусы: \( \frac{\pi}{2} \text{ рад} \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi \text{ рад}} = 90^{\circ} \).

Ответ: 90