7. Найдите значение производной функции f(x) = (3x-2)/(x+1) в точке, абсцисса которой равна 1.

Решение:

Найдем производную функции \( f(x) = \frac{3x-2}{x+1} \) с помощью правила дифференцирования частного: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Здесь \( u = 3x-2 \) и \( v = x+1 \).

Найдём производные \( u' \) и \( v' \):

\( u' = (3x-2)' = 3 \)

\( v' = (x+1)' = 1 \)

Теперь подставим в формулу производной частного:

\( f'(x) = \frac{3(x+1) - (3x-2)(1)}{(x+1)^2} \)

Упростим числитель:

\( f'(x) = \frac{3x + 3 - 3x + 2}{(x+1)^2} = \frac{5}{(x+1)^2} \)

Теперь найдем значение производной в точке \( x = 1 \):

\( f'(1) = \frac{5}{(1+1)^2} = \frac{5}{2^2} = \frac{5}{4} \).

Ответ: 5/4