6. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 5 см и 6 см, а диагональ параллелепипеда равна √65 см. Найдите высоту параллелепипеда и синус угла наклона диагонали параллелепипеда к плоскости основания.

Решение:

Пусть стороны основания равны \( a = 5 \) см и \( b = 6 \) см. Диагональ параллелепипеда \( d = \sqrt{65} \) см. Высота параллелепипеда — \( h \).

1. Найдём высоту параллелепипеда.
   Диагональ прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: \( d^2 = a^2 + b^2 + h^2 \).
   Подставим известные значения:
   \( (\sqrt{65})^2 = 5^2 + 6^2 + h^2 \)
   \( 65 = 25 + 36 + h^2 \)
   \( 65 = 61 + h^2 \)
   \( h^2 = 65 - 61 \)
   \( h^2 = 4 \)
   \( h = 2 \) см (высота положительна).
2. Найдём синус угла наклона диагонали к плоскости основания.
   Угол наклона диагонали параллелепипеда к плоскости основания — это угол между диагональю параллелепипеда и диагональю основания. Обозначим эту диагональ основания как \( d_{осн} \).
   Найдем диагональ основания по теореме Пифагора: \( d_{осн}^2 = a^2 + b^2 = 5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61 \).
   \( d_{осн} = \sqrt{61} \) см.
   Синус угла наклона (обозначим его \( \alpha \)) — это отношение противолежащего катета (высоты \( h \)) к гипотенузе (диагонали параллелепипеда \( d \)).
   \( \sin \alpha = \frac{h}{d} = \frac{2}{\sqrt{65}} \).
   Избавимся от иррациональности в знаменателе:
   \( \sin \alpha = \frac{2 \sqrt{65}}{65} \).

Ответ: высота параллелепипеда равна 2 см, синус угла наклона диагонали равен \( \frac{2 \sqrt{65}}{65} \).