8. Решите уравнение ⁴√(x⁴ + x² + 2x - 3) = x.

Решение:

Для решения уравнения \( \sqrt[4]{x^4 + x^2 + 2x - 3} = x \), возведём обе части в 4-ю степень:

\( x^4 + x^2 + 2x - 3 = x^4 \)

Вычтем \( x^4 \) из обеих частей:

\( x^2 + 2x - 3 = 0 \)

Это квадратное уравнение. Найдём его корни:

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \).

Корни: \( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

\( x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)

Теперь проверим полученные корни в исходном уравнении. Показатель корня — 4 (четное число), поэтому правая часть уравнения \( x \) должна быть неотрицательной: \( x \ge 0 \).

Проверка \( x_1 = 1 \):

\( \sqrt[4]{1^4 + 1^2 + 2(1) - 3} = \sqrt[4]{1 + 1 + 2 - 3} = \sqrt[4]{1} = 1 \). Правая часть: \( x = 1 \). \( 1 = 1 \). Значит, \( x=1 \) — корень.

Проверка \( x_2 = -3 \):

Так как \( x = -3 < 0 \), этот корень не подходит, потому что корень четной степени не может быть отрицательным.

Ответ: 1