9. Определите количество корней уравнения cos²x - cos2x = sinx, удовлетворяющих условию 10° < x < 200°.

Решение:

Преобразуем уравнение, используя формулу косинуса двойного угла \( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \) и основное тригонометрическое тождество \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \).

\( (1 - \sin^2 x) - (1 - 2\sin^2 x) = \sin x \)

\( 1 - \sin^2 x - 1 + 2\sin^2 x = \sin x \)

\( \sin^2 x = \sin x \)

Перенесём всё в одну сторону:

\( \sin^2 x - \sin x = 0 \)

Вынесем \( \sin x \) за скобки:

\( \sin x (\sin x - 1) = 0 \)

Отсюда получаем два случая:

1. \( \sin x = 0 \)
2. \( \sin x - 1 = 0 \) \( \Rightarrow \sin x = 1 \)

Теперь найдём решения в заданном диапазоне \( 10^{\circ} < x < 200^{\circ} \).

Случай 1: \( \sin x = 0 \)

Общие решения: \( x = 180^{\circ} k \), где \( k \) — целое число.

Для \( k=0 \), \( x=0^{\circ} \) (не входит в диапазон).

Для \( k=1 \), \( x=180^{\circ} \) (входит в диапазон).

Для \( k=2 \), \( x=360^{\circ} \) (не входит в диапазон).

Случай 2: \( \sin x = 1 \)

Общие решения: \( x = 90^{\circ} + 360^{\circ} k \), где \( k \) — целое число.

Для \( k=0 \), \( x=90^{\circ} \) (входит в диапазон).

Для \( k=1 \), \( x=450^{\circ} \) (не входит в диапазон).

У нас есть два решения в заданном диапазоне: \( 90^{\circ} \) и \( 180^{\circ} \).

Ответ: 2