5. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 12/13. Диаметр описанной около него окружности равен 13. Найдите площадь прямоугольника.

Краткая запись:

• Синус угла между стороной и диагональю: 12/13
• Диаметр описанной окружности: 13
• Найти: Площадь прямоугольника

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Диаметр описанной окружности равен диагонали прямоугольника. Значит, диагональ (d) равна 13.
2. Шаг 2: Пусть одна из сторон прямоугольника равна 'a', а другая 'b'. Диагональ, сторона 'a' и сторона 'b' образуют прямоугольный треугольник.
3. Шаг 3: Пусть угол между стороной 'a' и диагональю 'd' равен $$\alpha$$. Нам дан $$\sin \alpha = \frac{12}{13}$$.
4. Шаг 4: В прямоугольном треугольнике, образованном сторонами 'a', 'b' и диагональю 'd':
   \( \sin \alpha = \frac{b}{d} \) (где 'b' - противолежащий катет к углу $$\alpha$$).
   \( \frac{12}{13} = \frac{b}{13} \)
   Отсюда \( b = 12 \).
5. Шаг 5: Теперь найдем сторону 'a'. Мы знаем, что \( a^2 + b^2 = d^2 \) (теорема Пифагора).
   \( a^2 + 12^2 = 13^2 \)
   \( a^2 + 144 = 169 \)
   \( a^2 = 169 - 144 \)
   \( a^2 = 25 \)
   \( a = 5 \).
6. Шаг 6: Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:
   \( S = a \cdot b \)
   \( S = 5 \cdot 12 = 60 \).

Ответ: 60