7. В окружность с центром в точке О вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки О до сторон треугольника равно √5/3. Найдите сторону треугольника.

Задание 7

Дано:

• Равносторонний треугольник, вписанный в окружность.
• Расстояние от центра О до стороны треугольника \( r = \frac{\sqrt{5}}{3} \).

Найти: сторону треугольника \( a \).

Решение:

Расстояние от центра вписанной окружности до стороны равно радиусу вписанной окружности \( r \).

Для равностороннего треугольника высота \( h \) связана с радиусом вписанной окружности \( r \) соотношением: \( h = 3r \).

Подставим данное значение радиуса:

\[ h = 3 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = \sqrt{5} \]

Также высота равностороннего треугольника выражается через его сторону \( a \) формулой:

\[ h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \]

Приравняем оба выражения для высоты:

\[ \frac{a\sqrt{3}}{2} = \sqrt{5} \]

Умножим обе части на 2:

\[ a\sqrt{3} = 2\sqrt{5} \]

Разделим обе части на \( \sqrt{3} \):

\[ a = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{5}\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{15}}{3} \]

Ответ: сторона треугольника равна \(\frac{2\sqrt{15}}{3}\).