5. Сократить дробь: 1) $\dfrac{\sqrt[8]{a}-\sqrt[8]{b}}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}}$; 2) $\dfrac{x+\sqrt[4]{5}}{x^2-\sqrt5}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Сократить дробь: 1) $\dfrac{\sqrt[8]{a}-\sqrt[8]{b}}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}}$; 2) $\dfrac{x+\sqrt[4]{5}}{x^2-\sqrt5}$.$ Фото задания

5. Сократить дробь: 1) $\dfrac{\sqrt[8]{a}-\sqrt[8]{b}}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}}$; 2) $\dfrac{x+\sqrt[4]{5}}{x^2-\sqrt5}$.

Accepted Answer

Положим $u=\sqrt[8]{a}$, $v=\sqrt[8]{b}$. Тогда знаменатель равен $u^2-v^2=(u-v)(u+v)$, поэтому дробь сокращается до $\dfrac1{u+v}$: $\dfrac1{\sqrt[8]{a}+\sqrt[8]{b}}$. Исходная дробь определена при $a,b\ge0$ и $a\ne b$.
Так как $\sqrt5=(\sqrt[4]{5})^2$, знаменатель раскладывается: $x^2-\sqrt5=(x-\sqrt[4]{5})(x+\sqrt[4]{5})$. Сокращаем общий множитель. Получаем $\dfrac1{x-\sqrt[4]{5}}$, при ограничениях исходной дроби $x\ne\pm\sqrt[4]{5}$.

Ответ: 1) $\dfrac1{\sqrt[8]{a}+\sqrt[8]{b}}$; 2) $\dfrac1{x-\sqrt[4]{5}}$.

5. Сократить дробь: 1) \(\dfrac{\sqrt[8]{a}-\sqrt[8]{b}}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}}\); 2) \(\dfrac{x+\sqrt[4]{5}}{x^2-\sqrt5}\).

Ответ: