5. Точки в квадрате: Внутри квадрата со стороной 1 см случайным образом поставили 5 точек. Докажите, что расстояние между какими-то двумя точками меньше 0.71 см.

Разделим квадрат на четыре одинаковых квадрата со стороной 0,5 см. Среди пяти точек хотя бы две попадут в одну и ту же часть. Расстояние между двумя точками в такой части не больше её диагонали:

\(d\leq\sqrt{0.5^2+0.5^2}=\sqrt{0.5}\approx0.7072\text{ см}<0.71\text{ см}.\)

Значит, расстояние между некоторыми двумя точками меньше 0,71 см.

Доказано.