7. Различные остатки: В кружке 13 школьников. Каждый из них написал натуральное число. Докажите, что найдутся два школьника, разность квадратов чисел которых делится на 12.

Квадрат натурального числа при делении на 12 может иметь только остаток 0, 1, 4 или 9. Действительно, для чисел, сравнимых по модулю 12 с 0–11, квадраты дают именно эти четыре остатка. Распределим 13 написанных чисел по четырём классам остатков их квадратов. В одном классе окажутся как минимум два числа. Их квадраты имеют одинаковый остаток при делении на 12, поэтому разность квадратов делится на 12.

Доказано.