5. Упростите выражение: (√6 - √2)² + √48

Решение:

Сначала раскроем квадрат разности \( (\sqrt{6} - \sqrt{2})^2 \) по формуле \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \):

\[ (\sqrt{6} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{6})^2 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 \]

\[ = 6 - 2 \sqrt{6 \cdot 2} + 2 = 6 - 2 \sqrt{12} + 2 = 8 - 2 \sqrt{12} \]

Теперь упростим \( \sqrt{12} \). Так как \( 12 = 4 \cdot 3 \), то \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \).

Подставим это обратно:

\[ 8 - 2 \cdot (2\sqrt{3}) = 8 - 4\sqrt{3} \]

Теперь упростим \( \sqrt{48} \). Так как \( 48 = 16 \cdot 3 \), то \( \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3} \).

Теперь сложим полученные выражения:

\[ (8 - 4\sqrt{3}) + 4\sqrt{3} = 8 - 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 8 \]

Ответ: 8.