511. На рисунке 296 точка O — центр окружности, диаметр CD перпендикулярен хорде AB. Докажите, что ∠AOD = ∠BOD.

Решение:

По условию, CD — диаметр, перпендикулярный хорде AB. Точка O — центр окружности.

Рассмотрим треугольники ΔAOD и ΔBOD:

1. AO = BO (радиусы окружности).
2. DO — общая сторона.
3. ∠AOD = ∠BOD (по условию, CD ⊥ AB, значит, углы равны 90°).
   ОШИБКА: Углы ∠AOD и ∠BOD не обязательно равны 90°. CD ⊥ AB означает, что угол между ними 90°, а не эти конкретные углы.
   Верное рассуждение:
   1. AO = BO (радиусы окружности).
4. DO — общая сторона.
5. ∠AOD и ∠BOD являются смежными углами, если CD проходит через O. CD - диаметр, значит, проходит через O.
   Уточнение: CD - диаметр, значит, проходит через O. AB - хорда. CD ⊥ AB.
6. Рассмотрим треугольники ΔAOC и ΔBOC.
7. AO = BO (радиусы).
8. CO = DO (радиусы).
9. CD — общая сторона (диаметр).
10. Правильное решение:
    1. Так как диаметр CD перпендикулярен хорде AB, он делит хорду AB пополам. Пусть точка пересечения — M. Тогда AM = MB.
    2. Рассмотрим треугольники ΔAOM и ΔBOM:
    a) AO = BO (радиусы).
    b) OM — общая сторона.
    c) AM = MB (по свойству перпендикулярного диаметра).
    d) Следовательно, ΔAOM = ΔBOM по трем сторонам (ССС).
    e) Из равенства треугольников следует, что ∠AOM = ∠BOM.
    3. Углы ∠AOD и ∠AOM, ∠BOD и ∠BOM являются частями углов ∠AOD и ∠BOD. CD — прямая, проходящая через центр, следовательно, ∠AOD и ∠BOD являются центральными углами.
    4. По свойству центральных углов, угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный, равен половине дуги. Диаметр CD ⊥ AB. Так как CD является осью симметрии для хорды AB, то точка A и B симметричны относительно CD. Следовательно, дуга AD равна дуге BD.
    5. Центральные углы, опирающиеся на равные дуги, равны. Значит, ∠AOD = ∠BOD.
    Альтернативное решение:
    1. Так как CD ⊥ AB, то углы, образованные при их пересечении, равны 90°. Пусть M — точка пересечения. Тогда ∠AMO = ∠BMO = 90°.
    2. Рассмотрим прямоугольные треугольники ΔAOM и ΔBOM.
    a) AO = BO (радиусы).
    b) OM — общий катет.
    c) Следовательно, ΔAOM = ΔBOM по гипотенузе и катету.
    d) Из равенства треугольников следует, что ∠AOM = ∠BOM. Так как CD — прямая, то ∠AOD = ∠BOM и ∠BOD = ∠AOM (или наоборот).
    e) Следовательно, ∠AOD = ∠BOD.
    

Доказано.