512. Докажите, что равные хорды окружности равноудалены от её центра.

Решение:

Пусть в окружности с центром O даны две равные хорды AB и CD (AB = CD).

Расстояние от центра окружности до хорды — это длина перпендикуляра, опущенного из центра на хорду. Опустим перпендикуляры из центра O на хорды AB и CD. Пусть OM ⊥ AB и ON ⊥ CD, где M и N — точки на хордах AB и CD соответственно.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ΔOMA и ΔONC:

1. AO = CO (радиусы окружности).
2. AB = CD (по условию). Так как OM и ON — перпендикуляры к хордам, они делят хорды пополам. Следовательно, AM = MB и CN = ND. Значит, AM = CN (половины равных хорд).
3. Таким образом, у нас есть прямоугольные треугольники ΔOMA и ΔONC, у которых равны гипотенузы (AO = CO) и один из катетов (AM = CN).
   ОШИБКА: Нужно рассматривать прямоугольные треугольники, образованные радиусом, перпендикуляром и половиной хорды.
   Правильное решение:
   Пусть OM ⊥ AB и ON ⊥ CD. Тогда M — середина AB, и N — середина CD.
   Рассмотрим прямоугольные треугольники ΔOMA и ΔONC:
   
   1. AO = CO (радиусы окружности).
   2. AM = CN (так как AB = CD, то их половины равны: \( AM = \frac{1}{2}AB \) и \( CN = \frac{1}{2}CD \)).
   3. Следовательно, прямоугольные треугольники ΔOMA и ΔONC равны по гипотенузе и катету (по теореме Пифагора, \( OM^2 = AO^2 - AM^2 \) и \( ON^2 = CO^2 - CN^2 \), так как \( AO=CO \) и \( AM=CN \), то \( OM^2 = ON^2 \), следовательно, OM = ON).
      (Или по признаку равенства прямоугольных треугольников: по гипотенузе и катету).

   Таким образом, расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны (OM = ON). Это означает, что равные хорды равноудалены от центра окружности.

Доказано.