Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Дано: Окружность с центром O. MA и MB — касательные, проведенные из точки M. A и B — точки касания. \( \breve{OAB} = 20° \).
1. Рассмотрим треугольник ΔOAB. OA = OB (радиусы окружности). Следовательно, ΔOAB — равнобедренный.
Так как \( \breve{OAB} = 20° \), то \( \breve{OBA} = \breve{OAB} = 20° \).
Найдем угол \( \breve{AOB} \):
\( \breve{AOB} = 180° - (\breve{OAB} + \breve{OBA}) = 180° - (20° + 20°) = 180° - 40° = 140° \).
2. Рассмотрим треугольник ΔOMA. OA — радиус, MA — касательная. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, \( \breve{OAM} = 90° \).
Аналогично, в треугольнике ΔOMB, \( \breve{OBM} = 90° \).
3. Рассмотрим четырехугольник OAMB.
Сумма углов четырехугольника равна 360°.
\( \breve{OAM} + \breve{AMB} + \breve{OBM} + \breve{AOB} = 360° \)
\( 90° + \breve{AMB} + 90° + 140° = 360° \)
\( 320° + \breve{AMB} = 360° \)
\( \breve{AMB} = 360° - 320° = 40° \).
Альтернативное решение:
Рассмотрим треугольник ΔOAM и ΔOBM.
- OA = OB (радиусы).
- OM — общая сторона.
- MA = MB (как отрезки касательных, проведенных из одной точки).
Следовательно, ΔOAM = ΔOBM по трем сторонам.
Из равенства треугольников следует, что \( \breve{AOM} = \breve{BOM} \) и \( \breve{AMO} = \breve{BMO} \).
Так как \( \breve{AOB} = 140° \), то \( \breve{AOM} = \breve{BOM} = \frac{140°}{2} = 70° \).
Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔOAM:
- \( \breve{OAM} = 90° \)
- \( \breve{AOM} = 70° \)
\( \breve{AMO} = 180° - (90° + 70°) = 180° - 160° = 20° \).
Так как \( \breve{AMB} = 2 \times \breve{AMO} \), то \( \breve{AMB} = 2 \times 20° = 40° \).
Ответ: ∠AMB = 40°.
