520. В окружности с центром O через середину радиуса провели хорду AB, перпендикулярную ему. Докажите, что ∠AOB = 120°.

Для решения этой задачи нам потребуется нарисовать рисунок, соответствующий условию. Пусть M - середина радиуса, через которую проведена хорда AB. Тогда OM перпендикулярно AB, AM = MB. Треугольник OMA - прямоугольный, OM = 1/2 OA (так как M - середина OA). Значит, \(\sin(\angle OAM) = \frac{OM}{OA} = \frac{1}{2}\), откуда \(\angle OAM = 30^\circ\). Так как треугольник OAM равен треугольнику OMB, то \(\angle OBM = 30^\circ\). Тогда \(\angle AOB = 180^\circ - \angle OAM - \angle OBM = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ\).