522. В окружности провели диаметр AB и хорды AC и CD так, что AC = 12 см, ∠BAC = 30°, AB ⊥ CD. Найдите длину хорды CD.

Решение:

Дано: Окружность с центром O, диаметр AB, хорды AC и CD, \( AC = 12 \) см, \( \breve{BAC} = 30° \), AB ⊥ CD.

1. Найдем длину хорды AC, используя свойство угла, вписанного в окружность. Угол \( \breve{ACB} \) является вписанным и опирается на диаметр AB. Следовательно, \( \breve{ACB} = 90° \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔACB:

• \( \breve{ACB} = 90° \)
• \( \breve{BAC} = 30° \)
• \( AC = 12 \) см.

Найдем длину диаметра AB:

\( \text{cos}(\breve{BAC}) = \frac{AC}{AB} \)

\( \text{cos}(30°) = \frac{12}{AB} \)

\( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{12}{AB} \)

\( AB = \frac{12 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} \) см.

Радиус окружности \( R = \frac{AB}{2} = 4\sqrt{3} \) см.

2. Найдем длину хорды CD.

По условию, AB ⊥ CD. Пусть точка пересечения хорд AB и CD — точка K.

Рассмотрим треугольник ΔACK. \( \breve{AKC} = 90° \). \( \breve{CAK} = \breve{BAC} = 30° \).

Найдем длину AK:

\( \text{cos}(\breve{CAK}) = \frac{AK}{AC} \)

\( \text{cos}(30°) = \frac{AK}{12} \)

\( AK = 12 \times \text{cos}(30°) = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \) см.

3. Найдем длину CK.

\( \text{sin}(\breve{CAK}) = \frac{CK}{AC} \)

\( \text{sin}(30°) = \frac{CK}{12} \)

\( CK = 12 \times \text{sin}(30°) = 12 \times \frac{1}{2} = 6 \) см.

4. Теперь рассмотрим хорду CD. Точка K лежит на диаметре AB. AB ⊥ CD. Диаметр AB перпендикулярен хорде CD. Это означает, что диаметр делит хорду CD пополам, то есть CK = KD.

Следовательно, \( CD = 2 \times CK \).

\( CD = 2 \times 6 = 12 \) см.

Ответ: CD = 12 см.