6.47. Какой цифрой оканчивается значение выражения (\(n\) — натуральное число): 1) \(4^{100}\); 2) \(3^{4n}\); 3) \(4^n\); 4) \(3^n\); 5) \(2^n\cdot3^{n+1}\)?

1) Цифры степеней 4 чередуются: 4, 6. Показатель 100 чётный, поэтому последняя цифра — 6.

2) \(3^4=81\), поэтому \(3^{4n}=81^n\) оканчивается цифрой 1.

3) Последняя цифра \(4^n\) зависит от чётности \(n\): при нечётном \(n\) — 4, при чётном — 6.

4) Последняя цифра \(3^n\) зависит от остатка \(n\) при делении на 4: возможны цифры 3, 9, 7, 1.

5) \(2^n\cdot3^{n+1}=3\cdot6^n\). При \(n\ge1\) число \(6^n\) оканчивается цифрой 6, значит произведение оканчивается цифрой 8.

Ответ: 1) 6; 2) 1; 3) 4 или 6; 4) 3, 9, 7 или 1; 5) 8.