6.49. Докажите, что значение выражения: 1) $17^8+19$ делится нацело на 10; 2) $64^{64}-1$ делится нацело на 5; 3) $3^{4n}+14$, где $n$ — натуральное число, делится нацело на 5.

Question

Вопрос: $Фото задания: 6.49. Докажите, что значение выражения: 1) $17^8+19$ делится нацело на 10; 2) $64^{64}-1$ делится нацело на 5; 3)…$ Фото задания

6.49. Докажите, что значение выражения: 1) $17^8+19$ делится нацело на 10; 2) $64^{64}-1$ делится нацело на 5; 3) $3^{4n}+14$, где $n$ — натуральное число, делится нацело на 5.

Accepted Answer

1) Последняя цифра степеней 17 совпадает с последней цифрой степеней 7. Так как $7^4$ оканчивается цифрой 1, то $17^8$ оканчивается цифрой 1. Тогда $17^8+19$ оканчивается цифрой $1+9=10$, значит делится на 10.

2) По модулю 5 имеем $64\equiv-1$. Поэтому $64^{64}\equiv(-1)^{64}=1\pmod5$, следовательно, $64^{64}-1$ делится на 5.

3) Так как $3^4=81\equiv1\pmod5$, то $3^{4n}\equiv1\pmod5$. Кроме того, $14\equiv4\pmod5$. Значит, $3^{4n}+14\equiv1+4=0\pmod5$.

Ответ: все три выражения делятся соответственно на 10, 5 и 5.

6.49. Докажите, что значение выражения: 1) \(17^8+19\) делится нацело на 10; 2) \(64^{64}-1\) делится нацело на 5; 3) \(3^{4n}+14\), где \(n\) — натуральное число, делится нацело на 5.

Ответ: