6. Докажите, что ABCD — параллелограмм. Диагонали AC и BD пересекаются в O; отмечено, что AO = OC и ∠CBD = ∠BDA.

Из \(\angle CBD=\angle BDA\) следует, что \(BC\parallel AD\), поскольку это накрест лежащие углы при секущей BD.

Рассмотрим треугольники BOC и DOA. Углы \(\angle BOC\) и \(\angle DOA\) вертикальные и равны. Так как \(BC\parallel AD\), равны накрест лежащие углы \(\angle BCO\) и \(\angle DAO\). По отметкам \(OC=OA\). Следовательно, треугольники BOC и DOA равны по стороне и двум прилежащим к ней углам; значит, \(OB=OD\).

Итак, O — середина обеих диагоналей AC и BD. Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Поэтому ABCD — параллелограмм.