№6 Докажите, что значение выражения не зависит от n:

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от \(n\), мы должны упростить его до выражения, в котором \(n\) отсутствует.

• 17. \(5^{2n+7} : 5^{2n-1}\):
  Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: \(a^m : a^p = a^{m-p}\).
  \[ 5^{2n+7} : 5^{2n-1} = 5^{(2n+7) - (2n-1)} = 5^{2n+7-2n+1} = 5^8 \]

  Результат \(5^8\) не содержит \(n\), значит, выражение не зависит от \(n\).

• 18. \(\frac{8^{2n+2}}{4^{3n+1}}\)
  Сначала приведем основания степеней к одному числу, например, к 2: \(8 = 2^3\) и \(4 = 2^2\).
  \[ \frac{(2^3)^{2n+2}}{(2^2)^{3n+1}} = \frac{2^{3(2n+2)}}{2^{2(3n+1)}} = \frac{2^{6n+6}}{2^{6n+2}} \]

  Теперь используем свойство деления степеней с одинаковым основанием:

  \[ 2^{(6n+6) - (6n+2)} = 2^{6n+6-6n-2} = 2^4 \]

  Результат \(2^4\) не содержит \(n\), значит, выражение не зависит от \(n\).

• 19. \(\frac{21^{n+3}}{3^{n+1} \cdot 7^{n+2}}\)
  Представим 21 как произведение 3 и 7: \(21 = 3 \cdot 7\).
  \[ \frac{(3 \cdot 7)^{n+3}}{3^{n+1} \cdot 7^{n+2}} = \frac{3^{n+3} \cdot 7^{n+3}}{3^{n+1} \cdot 7^{n+2}} \]

  Теперь разделим степени с одинаковым основанием:

  \[ 3^{(n+3)-(n+1)} \cdot 7^{(n+3)-(n+2)} = 3^{n+3-n-1} \cdot 7^{n+3-n-2} = 3^2 \cdot 7^1 = 9 \cdot 7 = 63 \]

  Результат \(63\) не содержит \(n\), значит, выражение не зависит от \(n\).