6) log base 3 of (x-2) + log base 3 of (x+6) = 2

Решение:

1. Воспользуемся свойством логарифма: \( \log a + \log b = \log(ab) \).
• \( \log_{3} ((x-2)(x+6)) = 2 \)
• \( \log_{3} (x^2 + 6x - 2x - 12) = 2 \)
• \( \log_{3} (x^2 + 4x - 12) = 2 \)
2. Переведем логарифмическое уравнение в показательное:
• \( x^2 + 4x - 12 = 3^2 \)
• \( x^2 + 4x - 12 = 9 \)
• \( x^2 + 4x - 12 - 9 = 0 \)
• \( x^2 + 4x - 21 = 0 \)
3. Решим квадратное уравнение относительно x, используя дискриминант: \( D = b^2 - 4ac \).
• \( D = 4^2 - 4 · 1 · (-21) = 16 + 84 = 100 \)
• \( x_{1,2} = \frac{-b ± \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 ± ±0}{2} \)
• \( x_1 = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
• \( x_2 = \frac{-4 - 10}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \)
4. Проверим ОДЗ (область допустимых значений):
• \( x-2 > 0             x+6 > 0 \)
• \( x > 2                   x > -6 \)
• Объединяя условия, получаем \( x > 2 \).
• \( x=3 \) подходит, так как \( 3 > 2 \).
• \( x=-7 \) не подходит, так как \( -7 < 2 \).

Ответ: 3