6. Найдите значение выражения: \( \frac{x^2}{x^2 + 2xy} : \frac{x}{x^2 - 4y^2} \) при \( x = 4-2\sqrt{5}, y = 8-\sqrt{5} \)

Решение:

1. Упростим выражение, заменив деление умножением на обратную дробь:
2. \( \frac{x^2}{x^2 + 2xy} \cdot \frac{x^2 - 4y^2}{x} \)
3. Сократим \( x \) в числителе и знаменателе:
4. \( \frac{x}{x^2 + 2xy} \cdot (x^2 - 4y^2) \)
5. Разложим знаменатель первой дроби: \( x(x + 2y) \)
6. Разложим числитель второй дроби (разность квадратов): \( (x - 2y)(x + 2y) \)
7. Подставим разложенные выражения:
8. \( \frac{x}{x(x + 2y)} \cdot (x - 2y)(x + 2y) \)
9. Сократим \( x \) и \( (x + 2y) \):
10. \( \frac{1}{1} \cdot (x - 2y) = x - 2y \)
11. Теперь подставим значения \( x \) и \( y \):
12. \( (4 - 2\sqrt{5}) - 2(8 - \sqrt{5}) \)
13. Раскроем скобки: \( 4 - 2\sqrt{5} - 16 + 2\sqrt{5} \)
14. Приведем подобные слагаемые: \( 4 - 16 = -12 \)

Ответ: -12