6. Найдите значение выражения: x² _______ x² + 9xy : х x² -81y² при х = 7-9√2, у = 5-√2

Задание 6. Вычисление значения выражения

Дано: выражение \( \frac{x^2}{x^2 + 9xy} : \frac{x}{x^2 - 81y^2} \) и значения \( x = 7-9\sqrt{2}, y = 5-\sqrt{2} \).

Решение:

1. Сначала упростим алгебраическое выражение. Деление дробей заменяем умножением на обратную дробь:




• \( \frac{x^2}{x^2 + 9xy} \cdot \frac{x^2 - 81y^2}{x} \)




2. Вынесем общие множители из знаменателя первой дроби и числителя второй дроби:




• Знаменатель первой дроби: \( x^2 + 9xy = x(x + 9y) \).


• Числитель второй дроби — это разность квадратов: \( x^2 - 81y^2 = (x - 9y)(x + 9y) \).




3. Подставим разложенные выражения обратно в дробь:




• \( \frac{x^2}{x(x + 9y)} \cdot \frac{(x - 9y)(x + 9y)}{x} \)




4. Сократим общие множители \( x \) и \( (x + 9y) \):




• \( \frac{x}{\cancel{x}(\cancel{x + 9y})} \cdot \frac{(x - 9y)\cancel{(x + 9y)}}{x} = \frac{x}{1} \cdot \frac{x - 9y}{x} = \frac{x(x - 9y)}{x} = x - 9y \)




5. Теперь подставим данные значения \( x \) и \( y \) в упрощённое выражение \( x - 9y \):




• \( x = 7 - 9\sqrt{2} \)


• \( y = 5 - \sqrt{2} \)


• \( 9y = 9(5 - \sqrt{2}) = 45 - 9\sqrt{2} \)


• \( x - 9y = (7 - 9\sqrt{2}) - (45 - 9\sqrt{2}) \)


• \( x - 9y = 7 - 9\sqrt{2} - 45 + 9\sqrt{2} \)


• \( x - 9y = 7 - 45 = -38 \)

Ответ: \( -38 \).