6. Площадь прямоугольного треугольника равна \(\frac{3200\sqrt{3}}{3}\). Один из острых углов равен \(60^\circ\). Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

Пусть площадь прямоугольного треугольника \(S = \frac{3200\sqrt{3}}{3}\). Один из острых углов равен \(60^\circ\). Пусть \(a\) - катет, лежащий напротив угла \(60^\circ\), а \(b\) - другой катет. Тогда \(S = \frac{1}{2}ab\). Так как один из углов равен \(60^\circ\), то другой острый угол равен \(30^\circ\). Тогда \(\tan 60^\circ = \frac{a}{b}\). Мы знаем, что \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\), следовательно, \(a = b\sqrt{3}\). Теперь подставим это в формулу площади: \[S = \frac{1}{2}b(b\sqrt{3})\] \[\frac{3200\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{2}b^2\sqrt{3}\] Умножим обе части на 2 и разделим на \(\sqrt{3}\): \[\frac{6400}{3} = b^2\] \[b = \sqrt{\frac{6400}{3}} = \frac{80}{\sqrt{3}} = \frac{80\sqrt{3}}{3}\] Теперь найдем \(a\): \[a = b\sqrt{3} = \frac{80\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{80 \cdot 3}{3} = 80\] Ответ: Длина катета, лежащего напротив угла \(60^\circ\), равна 80.