6. При каком значении а система уравнений $$\begin{cases} 4x + 7y = 6 \\ ax-14y = -12 \end{cases}$$ имеет бесконечно много решений?

Решение:

Система линейных уравнений вида $$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$$ имеет бесконечно много решений, если коэффициенты пропорциональны, то есть $$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$$.

В нашей системе: \( a_1 = 4, b_1 = 7, c_1 = 6 \) \( a_2 = a, b_2 = -14, c_2 = -12 \)

Приравняем отношения коэффициентов:

1. \( \frac{b_1}{b_2} = \frac{7}{-14} = -\frac{1}{2} \)
2. \( \frac{c_1}{c_2} = \frac{6}{-12} = -\frac{1}{2} \)
3. Теперь приравняем \( \frac{a_1}{a_2} \) к \( -\frac{1}{2} \): \( \frac{4}{a} = -\frac{1}{2} \).
4. Решим полученное уравнение: \( 4 \cdot 2 = -1 \cdot a \) \( 8 = -a \) \( a = -8 \).

Проверим, что при \( a = -8 \) все три отношения равны: \( \frac{4}{-8} = -\frac{1}{2} \), \( \frac{7}{-14} = -\frac{1}{2} \), \( \frac{6}{-12} = -\frac{1}{2} \). Условия выполнены.

Ответ: \( a = -8 \).