6. Решить неравенство: log7(2 - 3x) ≥ −1

Решение:

Для решения логарифмического неравенства \( \log_7(2 - 3x) \ge -1 \) необходимо учесть два условия:

1. ОДЗ (область допустимых значений): Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.

\( 2 - 3x > 0 \)

\( 2 > 3x \)

\( x < \frac{2}{3} \)

2. Решение самого неравенства: Поскольку основание логарифма \( 7 \) больше 1, при переходе от логарифма к выражению знак неравенства сохраняется.

\( 2 - 3x \ge 7^{-1} \)

\( 2 - 3x \ge \frac{1}{7} \)

Перенесём 2 в правую часть:

\( -3x \ge \frac{1}{7} - 2 \)

\( -3x \ge \frac{1}{7} - \frac{14}{7} \)

\( -3x \ge -\frac{13}{7} \)

Разделим обе части на -3 и сменим знак неравенства на противоположный:

\( x \le \frac{-13}{7} : (-3) \)

\( x \le \frac{-13}{7} \cdot \frac{1}{-3} \)

\( x \le \frac{13}{21} \)

Теперь объединим результаты ОДЗ и решения неравенства. Мы ищем значения \( x \), которые удовлетворяют обоим условиям: \( x < \frac{2}{3} \) и \( x \le \frac{13}{21} \).

Так как \( \frac{13}{21} \approx 0.619 \) и \( \frac{2}{3} \approx 0.667 \), то \( \frac{13}{21} < \frac{2}{3} \). Следовательно, условие \( x \le \frac{13}{21} \) является более строгим.

Ответ: \( x \le \frac{13}{21} \).