9. Найти экстремумы функции: y = 2x² - 20x + 1

Решение:

Для нахождения экстремумов (точек минимума и максимума) функции \( y = 2x^2 - 20x + 1 \) необходимо найти первую производную, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение.

1. Найдём первую производную:

\( y' = (2x^2 - 20x + 1)' \)

\( y' = 2 \cdot 2x - 20 \cdot 1 + 0 \)

\( y' = 4x - 20 \)

2. Приравняем производную к нулю:

\( 4x - 20 = 0 \)

\( 4x = 20 \)

\( x = \frac{20}{4} \)

\( x = 5 \)

3. Определим тип экстремума. Для этого найдём вторую производную:

\( y'' = (4x - 20)' = 4 \)

Поскольку \( y'' = 4 > 0 \) во всех точках, включая \( x=5 \), это означает, что в точке \( x=5 \) функция имеет минимум.

4. Найдем значение функции в точке минимума:

\( y(5) = 2(5)^2 - 20(5) + 1 \)

\( y(5) = 2(25) - 100 + 1 \)

\( y(5) = 50 - 100 + 1 \)

\( y(5) = -49 \)

Ответ: Функция имеет минимум в точке \( x = 5 \), значение функции в этой точке \( y = -49 \).