8. Найти производную функции: y = 2 · (x - 5)⁷

Решение:

Чтобы найти производную функции \( y = 2(x-5)^7 \), применим правило дифференцирования сложной функции (правило цепочки) и правило умножения на константу.

Правило производной степенной функции: \( (u^n)' = n u^{n-1} u' \).

Здесь \( u = x - 5 \) и \( n = 7 \).

Сначала найдём производную \( u' \):

\( u' = (x-5)' = 1 \) (так как производная \( x \) равна 1, а производная константы 5 равна 0).

Теперь применим правило цепочки:

\( y' = 2 \cdot \frac{d}{dx} (x-5)^7 \)

\( y' = 2 \cdot 7 (x-5)^{7-1} \cdot (x-5)' \)

\( y' = 14 (x-5)^6 \cdot 1 \)

\( y' = 14 (x-5)^6 \)

Ответ: \( y' = 14(x-5)^6 \).