6. Упростите выражение: a) (2x^-7 * 3x^5) / (6x^-2) б) a^-14 * (a^9)^2 в) 6x^-2y^-1 + (3y^-1 - x^-2)^2

Решение:

Используем свойства степеней: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \), \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \), \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \), \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \) и формулу квадрата разности \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \).

• a) \( \frac{2x^{-7} \cdot 3x^5}{6x^{-2}} = \frac{6x^{-7+5}}{6x^{-2}} = \frac{6x^{-2}}{6x^{-2}} = 1 \)
• б) \( a^{-14} \cdot (a^9)^2 = a^{-14} \cdot a^{9 \cdot 2} = a^{-14} \cdot a^{18} = a^{-14+18} = a^4 \)
• в) \( 6x^{-2}y^{-1} + (3y^{-1} - x^{-2})^2 = 6x^{-2}y^{-1} + ((3y^{-1})^2 - 2 \cdot 3y^{-1} \cdot x^{-2} + (x^{-2})^2) \)
  \( = 6x^{-2}y^{-1} + (9y^{-2} - 6x^{-2}y^{-1} + x^{-4}) \)
  \( = 6x^{-2}y^{-1} + 9y^{-2} - 6x^{-2}y^{-1} + x^{-4} \)
  \( = 9y^{-2} + x^{-4} \)

Ответ: a) 1, б) \(a^4\), в) \(9y^{-2} + x^{-4}\).