6. В треугольниках ABC и DEF AC = DE, BC = EF, ∠C = ∠F. Биссектрисы углов BAC и ABC пересекаются в точке O, а биссектрисы углов EDF и EDF — в точке M. Докажите, что ΔAOB = ΔDME.

В условии имеется очевидная опечатка: для точки M второй угол должен быть \(\angle EDF\) и \(\angle EFD\), то есть биссектрисы углов при E и D. При таком прочтении доказательство следующее.

По двум сторонам и углу между ними \(\triangle ABC=\triangle DEF\): \(AC=DE\), \(BC=EF\), \(\angle C=\angle F\). Поэтому \(\angle A=\angle D\), \(\angle B=\angle E\).

Точки O и M — центры вписанных окружностей соответствующих треугольников. Поэтому \(AO=DM\), \(BO=EM\), а углы \(AOB\) и \(DME\) равны как углы между соответствующими биссектрисами.

Следовательно, \(\triangle AOB=\triangle DME\) по двум сторонам и углу между ними.