8. Из точек A и B, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой m, опущены на эту прямую перпендикуляры AC и BD соответственно. Точки A и B равноудалены от прямой m, точка O — середина отрезка CD. Докажите, что ΔAOB — равнобедренный.

Так как AC и BD — перпендикуляры к прямой m, то \(AC=BD\) как расстояния точек A и B до прямой m.

Точка O — середина CD, поэтому \(CO=OD\).

Рассмотрим прямоугольные треугольники ACO и BDO. В них:

• \(AC=BD\);
• \(CO=OD\);
• \(\angle ACO=\angle BDO=90^\circ\).

Следовательно, \(\triangle ACO=\triangle BDO\) по двум катетам. Поэтому \(AO=BO\).

Значит, \(\triangle AOB\) равнобедренный.

Ответ: \(AO=BO\), основание треугольника — AB.