6. В треугольнике ABC точка K — середина AB, AM = 4, MC = 6; прямые BM и KC пересекаются в N. Найти KN : NC.

Так как \(AC=4+6=10\), расположим точки в координатах: \(A=(0,0)\), \(C=(10,0)\), \(B=(0,2)\). Тогда \(K=(0,1)\), а \(M=(4,0)\).

Прямая KC задаётся точками \((0,1)\) и \((10,0)\), поэтому её уравнение: \(y=1-\frac{x}{10}\). Прямая BM через \((0,2)\) и \((4,0)\) имеет уравнение \(y=2-\frac{x}{2}\).

В точке N значения y равны: \(1-\frac{x}{10}=2-\frac{x}{2}\), откуда \(x=2.5\). На отрезке KC это соответствует \(\frac{KN}{KC}=\frac{2.5}{10}=\frac14\). Значит, оставшиеся \(\frac34\) отрезка — NC.

Ответ: KN : NC = 1 : 3.