8. ABCD — параллелограмм; E — середина BC, F — середина AD. Прямые AE и FC пересекают диагональ BD соответственно в точках M и N. Доказать: BM = MN = ND.

Обозначим векторы \(\overrightarrow{AB}=\mathbf b\) и \(\overrightarrow{AD}=\mathbf d\), а точку A примем за начало координат. Тогда \(B=\mathbf b\), \(D=\mathbf d\), \(C=\mathbf b+\mathbf d\).

Так как E — середина BC, \(E=\mathbf b+\frac12\mathbf d\). Точка диагонали BD имеет вид \(\mathbf b+t(\mathbf d-\mathbf b)\). Для пересечения с AE коэффициенты при \(\mathbf b\) и \(\mathbf d\) дают \(1-t=2t\), поэтому \(t=\frac13\). Значит, \(BM=\frac13BD\).

Так как F — середина AD, \(F=\frac12\mathbf d\). Точка прямой FC имеет вид \(\frac12\mathbf d+s(\mathbf b+\frac12\mathbf d)\). При пересечении с BD получаем \(1-t=s\) и \(t=\frac{1+s}{2}\), откуда \(t=\frac23\). Следовательно, \(BN=\frac23BD\).

Итак, M и N делят BD на три равные части: \(BM=MN=ND\).