69. ABCD — параллелограмм, MB = 4 см, BK = 2 см, CN = 3 см, AE = 5 см. Найдите ∠AOB. На рисунке O — точка пересечения диагоналей и прямых MN и KE.

Диагонали параллелограмма делятся точкой O пополам. Поскольку M и N лежат на противоположных сторонах и прямая MN проходит через O, их положения относительно середины сторон дают MB : AB + CN : CD = 1. Обозначим AB = CD = a, BC = AD = b. Тогда 4/a + 3/b = 1.

Аналогично, поскольку K и E лежат на противоположных сторонах и KE проходит через O, BK/BC + AE/AD = 1, то есть 2/b + 5/a = 1.

Решение системы даёт a = b = 7 см. Параллелограмм с равными сторонами — ромб; его диагонали перпендикулярны. Следовательно, ∠AOB = 90°.

Ответ: 90°.