7. ABCD — трапеция (BC ∥ AD), AB = CD, AD = 15, BC = 5. Диагонали перпендикулярны; CE ⟂ AD. Найти CE.

Поскольку боковые стороны равны, трапеция равнобедренная. Разность оснований равна \(15-5=10\), поэтому выступ каждого основания равен \(10:2=5\).

Расположим A и D на горизонтальной прямой: тогда можно задать координаты A(0, 0), D(15, 0), B(5, h), C(10, h), где h = CE.

Направляющие векторы диагоналей AC и BD можно взять равными (10, h) и (10, −h). Их перпендикулярность означает, что скалярное произведение равно нулю:

\(10\cdot10+h(-h)=0\), поэтому \(h^2=100\). Так как высота положительна, h = 10.

Ответ: CE = 10.