8. ABCD — трапеция (BC ∥ AD), AD = 30, ∠ABC = 135°, ∠BCD = 90°, ∠BDC = 45°. Найти BC.

В прямоугольном треугольнике BCD углы C и D равны 90° и 45°. Значит, это равнобедренный прямоугольный треугольник, поэтому BC = CD.

Угол A трапеции supplementary с углом B: ∠A = 180° − 135° = 45°. Опустим из B перпендикуляр к AD. Получившийся прямоугольный треугольник имеет угол при A 45°, поэтому его горизонтальный катет равен высоте трапеции, то есть CD.

Следовательно, основание AD складывается из BC и двух отрезков длины CD: \(30=BC+CD+CD=3BC\). Однако здесь горизонтальный отрезок от проекции B до проекции C равен BC, а участок от проекции A до проекции B равен CD; поэтому непосредственно \(AD=BC+CD\). Так как BC = CD, получаем \(30=2BC\).

Ответ: BC = 15.