7. \(\begin{cases}3^x\cdot2^y=576;\\ y-x=(\sqrt2)^4.\end{cases}\)

Второе уравнение даёт \(y-x=4\), значит, \(y=x+4\).

Подставим в первое: \(3^x\cdot2^{x+4}=576\), откуда \(6^x\cdot16=576\). Поэтому \(6^x=36=6^2\), и \(x=2\).

Тогда \(y=x+4=6\).

Ответ: \((x;y)=(2;6)\).