8. \(5^{|x+1|}=0{,}2^{-x+1}\)

Так как \(0{,}2=\frac15=5^{-1}\), правая часть равна \((5^{-1})^{-x+1}=5^{x-1}\). Основания степеней равны и больше 1, поэтому \(|x+1|=x-1\).

Для любого действительного \(x\) имеем \(|x+1|\ge x+1\), а \(x+1>x-1\). Равенство невозможно.

Ответ: решений нет.