7. Дано: в треугольнике \(ABC\) точка \(E\) лежит на \(AC\), причём \(AE=6\), \(EC=2{,}5\); точка \(F\) лежит на \(BC\), причём \(BF=3\), \(FC=2\). Отрезки \(AF\) и \(BE\) пересекаются в \(K\). Найти: \(AK:KF\).

Выберем координаты вдоль сторон треугольника: пусть \(A=(0,0)\), \(C=(1,0)\), а \(B\) — произвольная точка. Тогда \(E\) делит \(AC\) в отношении \(6:2{,}5=12:5\), поэтому его координата вдоль \(AC\) равна \(12/17\). Точка \(F\) делит \(BC\) в отношении \(BF:FC=3:2\).

Пусть \(K\) занимает долю \(t\) отрезка \(AF\), считая от \(A\). Приравнивая коэффициенты точек на прямых \(AF\) и \(BE\), получаем \(t=\dfrac45\). Значит, \(AK:KF=t:(1-t)=\dfrac45:\dfrac15=4:1\).

Ответ: \(AK:KF=4:1\).